Новини

Педколектив

Наші досягнення

Методична скарбниця

Козацькі традиції

Гордість школи

Наші випускники

Із історії школи

Шкільна країна

Навчальна робота

Решение уравнений и неравенств с модулем.

          I. Решить уравнение

             çx-1ç+çx-2ç=1.

   Решение.

1.Найдем корни модулей

     x-1=0  ,  x-2=0

     x=1        x=2.    

Оба корня после проверки подходят для решения.

2.Определим знаки модулей на каждом промежутке:

   x£1                   1<x<2                   x³2

1                                                2                                      x

Знаки выражений на каждом из интервалов:   

x-1      -                     +                              +

x-2      -                    -                               +

Данное уравнение равносильно совокупности систем:

x£1,                          x£1,                 x=1,

-(x-1)-(x-2)=1;         x=1 ;             

1<x<2 ,                     1<x<2,            1<x<2,

x-1-(x-2)=1;             xÎ R;

x ³2,                         x³2,                 x=2.        

x-1+x-2=1;              x=2;

Ответ: xÎ[1;2].

           II.  Решить неравенство: çx-3ç>5.

Решение: данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

x-3>5,            x>8,

x-3<-5;          x<-2.

Ответ: x<-2  или  x>8.

         III. Решить неравенство: |x-3|<5

Решение:

данное неравенство равносильно двойному неравенству:

-5 < x –3 < 5;

-2 < x < 8.

Ответ : xÎ(-2;8)

          IV. Решить неравенство:   | x² -1 |- 2x < 0

Решение:1. Найдем корни модулей:

    x²-1=0;

    x= ±1. Разобьём числовую прямую на промежутки:

      x<-1                     -1<x<1                   x³1

                     º                              ·                                                                                                           

                     -1                           1                              x

Знаки выражения на каждом из интервалов:

x²-1     +                   -                                +

2.Данное неравенство равносильно совокупности систем:

x<-1,                                            x<-1,

x²-1- 2x <0;                               xÎ(1-√2; 1+√2);

-1 <x<1,                                   -1 < x < 1,

-x²+1-2x<0;                             xÎ(-∞; -1-√2) ∪(-1+√2;∞);

x ³ 1,                                         x³1,

x²-1-2x <0;                                xÎ(1-√2; 1+√2);

xÎÆ,

xÎ(-1+√2; 1),

xÎ[1; 1+√2).

Ответ:  xÎ(-1 +√2; 1+√2).

Решение рациональных неравенств

методом интервалов

I. Решить неравенство:

(x+2)

 x²-x-2    <-1.

Решение:

x+2            + 1 < 0;

 x²-x-2            

x+2+x²-x-2           < 0;

x²-x –2

      x²                < 0.

(x-2)(x+1)

Умножим обе части неравенства на выражение (x-2)²(x+1)², учитывая, что  (x-2)²(x+1)²0. Получим неравенство:

x²(x-2) (x+1)< 0.

Решим полученное уравнение методом интервалов.

1.Найдем нули функции:

f(x)=x²(x-2)(x+1);

x²(x-2)(x+1)=0;

x1=0 ; x2=2; x=-1.

2. Отметим нули функции на числовой прямой и найдем ее знак на каждом промежутке:

             +                 -                       -                     +           

                           °                 °                        °

                           -1                0                      2                             x

f(3)>0 ;  f(1)<0 ;  f(-2)>0/

Ответ: f(x)>0 при xÎ (-1; 0)Ú(0; 2)

  II  Решить неравенство:

£  0.

 Решение:

0

0.

Умножив полученное неравенство на выражение (x+8)² и учитывая, что x²+1>0 и x+80, получим систему:

(x-1)(x+8)  0,

x+8¹0.

        +              -                  +            

           -8                     1                      x

f(x)>0;  f(0);  f(-9)>0.

Ответ: f(x)£0  при  xÎ(-8; 1].

Зміст

Наверх