Новини

Педколектив

Наші досягнення

Методична скарбниця

Козацькі традиції

Гордість школи

Наші випускники

Із історії школи

Шкільна країна

Навчальна робота

Чтобы  успешно учиться математике, прочно ею овладеть, надо, конечно, обладать некоторыми общими умениями и качествами. Нужно уметь видеть объекты во всем многообразии их свойств и отношений, уметь сравнивать эти объекты, находить черты сходства и различий, уметь действовать в уме представлять мысленно любые объекты и видеть в уме все их особенности и изменения при тех или иных преобразованиях, т.е. иметь хорошо развитие воображение. Конечно, надо обладать также достаточной волей и вниманием, хорошей памятью, сообразительностью.

Но разве всеми этими умениями и качествами не нужно обладать, чтобы успешно учиться по другим предметам, чтобы в будущем хорошо трудиться, работать на производстве, в колхозе?.. Так что в этом отношении математика ничем особенным не отличается от других предметов. Кроме того, разве каждый из вас не хочет, чтобы у него была хорошая память, развитое воображение, внимание, крепкая воля, сообразительность, умение наблюдать и обобщать и т.д. независимо от того, нужно ли все это для изучения математики или не нужно? Не сомневаюсь, что все вы хотите этого. Так давайте будем развивать свои умения, качества своего ума!

Учтите очень важное положение: все названные мною умения и качества нужно для изучения математики, без них оно не может быть успешным, но сами умения и качества развиваются и крепнут в процессе упорного, плодотворного изучения математики.

Тут диалектика: для того чтобы учиться, нужны умения и особые качества ума, а эти умения и качества развиваются, формируются в процессе учения.

Если вы внимательно и активно будете участвовать (а не только присутствовать) на наших занятиях, если вы проделаете все упражнения, все задания которые я вам буду задавать, то уверена, что вы сами почувствуете наших занятий для себя.

Итак, начнем первое занятие. Будем учиться видеть, наблюдать. Ведь можно смотреть и мало видеть, а надо научиться не просто смотреть, -  это  вы умеете, - а видеть встречающиеся вам объекты во всем их многообразии свойств и отношений.

Вы  уже знаете, что каждый математический объект имеет очень иного различных свойств. Но при определении этих объектов указывают лишь самые существенные свойства, необходимые и достаточные для их распознания.

Возьмем такой пример. Средняя линия треугольника определяется как отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Рассмотрим треугольник ABC и среднюю линию ЕД в нем. Какими свойствами обладает ЕД (рисунок 1)? 

- ЕД - отрезок... средняя линия треугольника АВС…параллельна АВ …ЕД равна половине стороны АВ…

- Все это верно, это все вытекает из определения средней линий и из известного свойства. А еще какие свойства ЕД вы видите?…Больше не видите?

А ведь ЕД обладает еще многими другими свойствами. Вот некоторые из них: ЕД – сторона треугольника ЕДС и она меньшее основания трапеции АВЕД; ЕД - сторона углов ЕДС, ЕДВ, ДЕА и СЕД, ЕД делит треугольник на две части, притом площадь верхней части составляет одну четверть площади  всего треугольника, и т. д.

Как видите, этот простой математический объект, кроме свойств, указанных в определениях и теоремах, обладает еще многими  другими свойствами. Надо учиться их замечать, видеть, ибо без этого, без такого многообразного взгляда на математические объекты, вы не сумеете решать математические задачи, доказывать теоремы.

Возьмем теперь число144. Какими свойствами оно обладает?

- Это натуральное число… Оно четное, делится на 3… 144 – это квадрат 12…

-Верно. Но это число обладает еще многими.

Оно делится не только на 2и на 3, а на многие  другие числа. Вот все делители числа 144: 1 и 144; 2 и 72; 3 и 48 ; 4 и 36; 6 и 24; 8 и18; 12- всего 13 делителей.

Это число обладает еще и тем свойствам, что оно делится на сумму своих цифр 144: (1+4+4)=16, а 16 есть произведение этих цифр: 16=1*4*4. Значит, оно делится и на произведение своих цифр. Если поменять местами первую и последнюю цифры этого числа, то получим 441, а это есть квадрат числа 21, получаемого переменой мест цифр числа12.

Обычно в математике объекты рассматривают относительно  друг друга, так же как в жизни. Отрезок ЕД становится средней линией , если он проведён соответствующим образом в треугольнике , а сам по себе он просто отрезок. Посмотрите на чертеж. На этом чертеже изображена прямая АВ, перпендикулярная к прямой АС, и ВС – наклонной к прямой ВС, а сама АС перпендикулярная АВ и наклонна к ВС. Таким образом, одна и та же прямая может быть перпендикулярна к одной прямой  и наклонной к другой.

Если объект сложный, то, рассматривая его, изучая, надо уметь все правильно охватить, увидеть всё его особенности. Для этого сам процесс рассмотрения надо производить в определённом порядке, а не хаотично.

А то может произойти то, что произошло с мальчиком Лемеле в стихотворении  Льва Квитко:

Мама сказала:

Ты мне услужи,

Сестру уложи,

Дрова наколоть

Схватил он сестрёнку

И запер в сарай.

Сказал он сестрёнке:

Ты здесь поиграй!  

Не забуду, мой сынок,

Поймай петуха

И запри на замок

Сестренка, тарелки,

Петух и дрова

У Лемеле только

Одна голова!-  

Дрова он усердно

Помыл кипятком,

Четыре тарелки

Разбил молотком.

Но долго пришлось

С петухом воевать

Ему не хотелось

Ложиться в кровать.

Посмотрите на чертеж (рисунок 2). Сколько на нем изображено треугольников? Рассматривая внимательно чертеж слева направо, находим всего I5 треугольников: АОЕ, ОЕН,  ОЕР, ЕНР, ЕВГ, ЕМВ, ЕКМ, ЕКГ, КДР, КМГ, КВГ, РМО. RCВ, QГС, РВХ.

А  сколько там изображено различных четырехугольников? Находим  5 прямоугольников: АЕДТ, АВСТ, ЕБСД, ЕВГК, ДСГК; один параллелограмм-0 ХВЕ 8 трапеций: АОДТ, ОНМК, НРВМ, НХВМ, КРQГ, ЕВСQ, КРСГ, КДQГ, 2  неправильных четырехугольника – АОНЕ и МВСQ, и наконец один пятиугольник ОНМRД.

А еще там  имеется  окружность  центра О с диаметром ЕД, с двумя  другими  радиусами, с несколькими секторами, сегментами. Как видим, какое богатство различных фигур  мы обнаруживаем при внимательном рассмотрении  этого незамысловатого чертежа.

Еще пример. Дано алгебраическое  выражение:

                       x³+2х²y+2xу²+y³:

Что вы о нем можете сказать?

- Это многочлен.… Третьей степени … В нем четыре члена …

Его можно разложить на  множителя:                      

x³+2х²y+2xу²+y³=(х³+у³)+(2х²y+2ху²)=(х+у)   (х²+ху+у²)

- Всё верно, молодцы. Но вот самое простейшее, но очень важное  свойство вы не заметили.  Ведь этот многочлен не меняется при  замене х на у и обратно y на х. Действительно, получим: у³+2у²x+2ух²+х³, т. е. тот же многочлен, но его члены написаны в обратном порядке. Еще одно важное свойство вы не заметили: коэффициенты членов, одинаково удаленных от  начала и конца многочлена, равны: 1,2,2,1.

Наконец, что вы можете сказать о функции, график которой изображен на чертеже (рисунок  3)?

-Это парабола…

-Да, это парабола. Но я спрашиваю не о кривой, а свойствах функции, графиком которой является данная парабола.

-Это график квадратного трехчлена. …Эта функция при x=0 и при x=2 обращается в нуль …

-Маловато вы увидели. …А ведь по графику можно многое установить относительно изображаемой функции …Раз этот парабола, то функция квадратичная, которая в точках 0 и 2 обращается в нуль. Обратите внимание, ветки параболы направлены вниз - это значит, что коэффициент старшего члена квадратичной функции отрицательный. Поэтому эта функция такая:                  y=-х(х-2)=2х-х². По графику видно, что эта функция при х<1 возрастает, при х=1 она принимает наибольшее значение (максимум), равный, как легко видно 1 и при х>1 убывает. Значение этой функции при х<0 и при х>2 отрицательны, а при   0<х <2 - положительны.

Итак, вы видите, что каждый математический объект обладает многими свойствами, и надо уметь видеть эти свойства. Для этого следует тренироваться в подобных наблюдениях, с этой целью дома выполните следующее задание.

ЗАДАНИЕ:

9.1. Сколько треугольников на чертеже? А сколько квадратов? Какие ещё фигуры имеются на этом чертеже (рисунок  4)?

9.2. Укажите не менее 8 свойств числа 16.

9.3. Какими свойствами обладает биссектриса ВД треугольника АВС?

9.4. На прямой отмечены точки А, В, С, Д, Е. Сколько отрезков они определяют?

9.5. Укажите основные свойства функции   у=| х |-1.

9.6.Какими свойствами обладает выражение  а+1?

9.7. Что вы можете сказать о выражении   3ⁿ⁺¹-а³ⁿ?

9.8. На чертеже изображён  график движения ученика из пункта О в пункт С. Как двигался ученик?

9.9. На окружности взяты три точки  А, В, С, которые затем соединены попарно между собой и каждая соединена с центром окружности. Какие фигуры при этом образовались?

ЗАНЯТИЕ №2

Должно быть, все вы не раз слышали крылатую фразу – „ Все познаётся в

сравнении ”. И действительно, оценить что – либо, установить, чем оно является,

хорошо  это  или  плохо , каков  данный  объект , можна лиш сравнивая его  с каким- либо другим. Я показываю вам карандаш и спрашиваю: большой он или маленький?     

Вы мне, очевидно,  скажите:

                  - А по сравнению с чем? По сравнению с одним предметом он большой, а по сравнению  с другим – маленький.

                   -Если я вам покажу несколько предметов  и спрошу, какой из них самый  большой, то вы вправе мне сказать, что  вопрос поставлен неверно, он бессмысленный. Ведь не сказано, по какому свойству надо установить наибольший предмет:  по длине, по объему по массе или еще по какому – либо параметру.

               Вообще сравнить предметы  можно лишь  по определенному общему свойству (признаку, параметру).

              Если это свойство не указано, то вопрос о сравнении предметов не имеет

смысла, сравнение невозможно.

               Значит,  для того чтобы сравнить предметы, объекты, надо сначала выявить их общие свойств, а лишь  затем установить, по каким свойствам  эти предметы сходны (одинаковы, равны), а по каким они различны

(неодинаковы). Если же объекты таковы, что они  вообще не имеют общих

свойств, то их и сравнивать нельзя. Например, треугольник и многочлен

не имеют, видимо, каких-либо общих свойств а поэтому их и сравнивать

нельзя. Треугольник можно сравнить с другим треугольником, с многоугольником, многочлен можно сравнить с другим многочленом, но между собой треугольник и многочлен сравнивать нет смысла.

           А сравнивать математические объекты  нужно, ибо только в сравнении мы познаем их найболее важные свойства, изучаем их. Сравнивать треугольники между собой, мы устанавливаем, какие виды треугольников могут быть, сравнивая их с другими геометрическими фигурами, мы выявляем их особые свойства, например  их жесткость: из трех отрезков можно образовать один  и только один треугольник  (если, конечно, эти отрезки  удовлетворяют соотношению, что каждый из них меньше суммы двух других), а вот из четырех отрезков можно образовать не один четыехугольник, а много различных. Свойство жесткости  треугольников чень важное, оно широко применяется  в технике, в строительстве.

             Поэтому вполне прав поэт Р.Сеф. который  шутливой форме  писал:

             Кто ничего                                     Кто ничего

             Не замечает,                                   Не изучает,

             Тот ничего                                      Тот вечно хнычет

              Не изучает                                     И скучает.

             Сравним, например, медиану и биссектрису треугольника. Обе они

являються отрезками, обе они соединяют  вершину треугольника с какой-то

точкой  противоположной стороны,  но медиана делит эту сторону пополам,

а биссектриса делит угол при вершине пополам. Сравним  теперь медиану

и высоту треугольника. Они более резко различаються  между собой, чем

медиана и бессектриса. Это проявляеться  хотя бы в том,  что медиана и

бессектриса всегда находяться внутрии треугольника, а высота  может проходить и вне его.  Посмотрите  на числа 4, 9, 16, 38, 10. Сравните их, что

в них общего? Пожалуй  лишь то, что все они натуральные числа и все четные. А вот числа 1, 4, 9, 16, 25, 36  имеют более существенное общее

свойство:  все они  представляют  собой  квадраты  последовательных

натуральных чисел. Поэтому если нужно продолжить первую последовательность чисел, то после 10 можно поставить любое  число,

а вот во второй  после 36 можно поставить лишь 49, затем 64, с тем чтобы

сохранить замеченное  общее свойство  (закономерность) этих чисел.

Выявить общее свойство данных объектов  не всегда легко. Например, по какому общему свойству (закономерности) написана следующая последовательность чисел: 16, 12, 15, 11, 14, 10?

            Сравнивая  эти числа попарно, замечаем:  16-4=12, 12+3=15,

15-4=11, 11+3=14, 14-4=10.

Значит, числа этой последовательности составлены так, что последующее число получается из предыдущего попеременно то вычитанием 4, то прибавлением 3. Поэтому если надо приписать к ней еще два числа, то можно написать такие числа; 10+ 3= 13 и 13-4=9.   

Но можно заметить и такое общее свойство чисел этой последователь- ности: она составлена из двух очень простых последовательностей: 16,15,14 и 12,11,10, причем члены второй последовательности  расставлены между членами первой. Значит, чтобы приписать еще два числа к этой последовательности, продолжаем каждую из составляющих: 16,15,14,13,12,11,10,9,- и затем члены второй последовательности расставляем между членами первой;16,12,15,11,14,10,13,9.

Для нахождение общего свойства членов последовательности нам пришлось сравнивать между собой числа. Как известно для сравнения чисел существует два основных способа: разностное и кратное сравнение.При разностном сравнении мы находим разность этих чисел и по ней судим, какие из данных чисел больше, а какие меньше и на сколько. При кратном сравнении положительных чисел мы находим их частное и по нему в зависимости от того, больше оно или меньше одного, судим, какое из данных чисел больше, а какое меньше и во сколько раз.

Так, сравнивая разностным способом числа 4 и 12, находим, что    12-4=8.   Это значит, что 12 больше 4 на 8 или на 4 меньше 12 на 8. Сравнивая эти же числа кратным способом, находим,что 4:12=1/3 или 12:4=3. Это значит, что 4 меньше 12 в 3 раза или составляет

1/3 от 12, а 12 больше 4 в 3 раза.

             Вы хорошо знаете способ сравнения отрезков путем непосредственного наложения и друг на друга. Точно так же путем наложения можно, сравнивать углы. В результате такого непосредственного сравнения числа, отрезки, углы можно расположить по порядку возростания или убывания. Точно так же можно сравнить между собой квадраты, круги. А вот уже прямоугольники так сравнивать нельзя. Для их сравнения, так же и как и для сравнения других фигур, в математике разработан метод опосредственного сравнения  с помощью измерения.

             Для этого сравниваемые объекты измеряют с помощью одной и той же единцы измерения, а затем сравнивают полученные числа.Так, для сравнения двух прямоугольников по площади их измеряют с помощью единицы измерения-квадрата-со стороной, равной единицы длины, после чего остаеться сравнить полученные числаа.

            Эти два способа сравнения однородных объектов можно наглядно увидеть три нахождении массы тела. Когда мы сравниваем два предмета с помощью чашечных весов без гирь, то это способ непосредственного сравнения; когда же для сравнения этих же предметов их взвешивают на весах  с помощью гирь, т.е. находят численную величину их массы, а затем сравнивают полученные числа, то это уже способ опосредственного сравнения.

Заметим, что два объекта можно сравнивать не по одному какому-то свойству (признаку), а, как правило, по разным и многим признакам (основаниям сравнения). Например, треугольники можно сравнивать по площади, по периметром, по виду углов (сравниваемые  треугольники могут быть оба остроугольными или один из них остроугольный, а другой тупоугольный и т.д. ), по соотношению сторон (например, один из них равнобедренный и т.д.) и еще по другим основаниям.

Сложнее сравнивать алгебраические  объекты: многочлены, уравнения, тождества, функции и т.д. Так, сравнивая между собой многочлены, можно лишь установить, различаются  ли они по числу переменных или по наивысшей степени переменных. Можно, конечно, их сравнить и по тому, какие буквы входят в эти многочлены; одни и те же или разные. Но это различие несущественное, ибо, например, многочлены x²+xy+y²  и  a²+ ab+b² существенно не различаются: по сути дела это один и тот же многочлен.

Как видим, сравнение лежит в основе классификации объектов, а измерение есть способ сравнения, и в то же время само измерение производится с помощью сравнения измеряемого объекта с единицей измерения. В основе решения большинства задач также лежит сравнение. А многие задачи прямо связаны со сравнением. Вот пример такой задачи.

ЗАДАЧА.  Хорда. А в окружности, не проходящая через центр, разделена пополам в точке М. Докажите, что любая другая хорда, проходящая через точку М, больше хорды АВ (рисунок  5).

Решение. В данном случае мы не можем непосредственно сравнить отрезки  АВ и СД произвольной хорды, проходящей через точку М, путём наложения  одного из этих отрезков на другой. Значит, нам нужно их сравнить опосредовано. Как же это можно сделать? Способ измерения  здесь не подходит, ибо мы должны сравнить отрезок АВ не с одним каким-то  определённым отрезком, а с любым, являющимся хордой окружности, проходящей через точку М, значит, мы должны использовать какие-то теоремы  о сравнении отрезков. Какие теоремы такого характера мы знаем? Имеются теоремы о сравнении сторон треугольников, например, что в треугольнике против большего угла лежит и большая сторона. Но в данном случае нам нужно сравнить не просто отрезки, а хорды окружности. А что мы о них знаем? Вспоминаем такое их свойство: чем хорда окружности ближе к центру, тем она больше. Тогда найдём расстояние сравниваемых хорд АВ и СД до центра О. Для этого из О опускаем перпендикуляры на АВ и СД. Как известно, эти перпендикуляры проходят через середины хорд. Значит, ОМ  АВ и ОК  СД. Рассматривая  полученный прямоугольный треугольник ОМК, находим, что ОК<ОМ, ибо катет меньше гипотенузы. Следователь, СД>АВ. Что и требовалось доказать. Когда  надо сравнить более двух объектов, то можно либо непосредственно сравнивать их попарно, либо заменить их такими объектами сравнение,  которых  осуществить просто и легко.

Например, нужно сравнить по росту трёх учеников. А, В, и С. Можно это сделать двумя способами.

1-й способ.

1) Сравним непосредственно  А и В (ставим их спиной  друг к другу и видим, кто из них выше). Пусть A<B.

2) Сравниваем также В и С. Если. В<C,  то получаем: A<B<C.  Если же  В>C, то приходится произвести ещё один шаг.

3) Сравниваем А и С. Если А<C, то получаем: A<C<B, если же A>C, то. С<A<B.

2-й способ.

Измеряем рост всех трёх учеников, допустим, получили. А=158, В=160, С=156. Осталось сравнить числа 158, 160 и 156. Это сделать легко, получаем: 156<158<160, следовательно: C<A<B.

ЗАДАНИЕ 10

10.1.Сравнить следующие  пары математических объектов, укажите, по каким признакам (свойства) они сходны, а по каким различны:

А) вертикальные и смежные углы;

Б) круг и квадрат;

В) линейное уравнение и параллелограмм;

Г) а²+b² и x³+y³

Д) 3/4 и (а-1)/(а+2)

Е) x²-5x+6=0 b x²-5x+6>0

Ж) прямоугольный треугольник и функцию y = x .

10.2 Верно ли  произведено   сравнение объектов, а если неверно, то в чём ошибка.

А) Сравнив треугольники АВС и МКГ, установили, что АВС - прямоугольный, а МКГ – равнобедренный.

Б) Сравнив два прямоугольника, установили, что один из них имеет площадь    48 м² , а периметр другого  равен 60 м.

В) Сравнив два круга, установили, что радиус одного из них равен 6 м, а радиус другого 8 м.

Г) Сравнили два многочлена и установили, что степень из них равна трём, а  второй есть сумма трёх одночленов.

Д) Сравнили треугольник АВС и многочлен М и установили, что площадь АВС равна 10 м², а значение многочлена М при x=2 равно 10.

10.3. 4 различных по массе предмета требуется  расположить  в  порядке  убывания  их масс. Пользоваться  для этого  можно  лишь  чашечными  весами  без  гирь. Сколько